EXPRESSION OF ALL SI UNITS BY ONE PARAMETER WITH ACCEPTABLE UNCERTAINTIES

허용 가능한 수준의 불확도를 지닌 원 파라미터(One parameter)를 이용한 모든 SI 단위의 표현

 

요약

현대 물리학에서 복잡하고 다양한 자연 법칙을 설명하기 위해 얼마나 많은 파라미터가 필요한지 찾는 일은 우리에게 있어 과제로 남아있었다. 본 논문에서는 단위의 새로운 형식 체계를 소개한다. 단위의 새로운 형식 체계는 SI 단위와 호환을 이루며, 허용 가능한 불확도 내의 무차원 수를 활용하여 일곱 가지 SI 기본 단위를 표현하고, 숫자 1을 모든 것의 기본 파라미터로서 수립한다.  모든 기본 SI 단위는 통일성(unity)을 토대로 한 s, c, h, k, e/me, NA, b의 일반화 과정을 거쳐 통합 무차원 숫자 값으로 변환 가능하다. 본 논문에서 제시한 단위계 내에서는, 심지어 서로 다른 물리량도 변환 가능하다. 고로 물리량끼리 서로 가감이 가능하며 비교할 수도 있다. 모든 단위를 상응하는 숫자로 대체하여 물리 방정식을 분석하고 확인하는 일은 매우 단순하고 쉬운 작업이다. 이에 덧붙여, 서로 다른 차원의 물리량 사이에서 새로운 관계를 찾아낼 수 있을 거라 전망할 수 있는데, SI 단위 내에서는 매우 어렵거나 심지어 불가능한 일이었다.

 

키워드: 제로존 단위계, 무차원 숫자, Q 단위(Qunit), 미세 구조 상수, 뤼드베리 상수, 불확도

 

1. 서문

 

국제 단위계(SI)는 미터법 체계의 현대적인 형태로, 오늘날 국제 무역, 과학, 기술(BIPM, 2006)분야에서 널리 사용하고 있다. SI에서 사용하는 기본 일곱 가지 수량 및 이를 나타내기 위한 기호는 길이(m), 질량(kg), 시간(s), 전류(A), 열역학적 온도(K), 입자의 수(mol), 광도(cd)가 있다. 상기 언급한 기본 수량을 제외하고, 다른 모든 수량을 나타내기 위한 단위는 주로 기본 단위를 거듭제곱의 곱으로 유도한 것이다. 수량과 이에 상응하는 유도단위의 예시는 다음과 같다.

Force (N=kg·m/s2), Energy (J=N·m), Power (W=J/s)

 

역사적으로 봤을 때, 미터법 단위는 보편적 물리상수와 연계하여 정의한 것도 아니고, 통일성을 지닌 정확한 숫자 값을 갖는 물리 상수의 집합을 선택해서 정의한 것도 아니다. 미터법 단위의 정의는 지구의 자오선과 자전을 바탕으로 정의한 것으로, 이는 결국 주요 물리 상수의 크기 역시 정의 하기에 이른다.

 

18세기 말 프랑스 혁명 이후, 새로운 미터법 단위인 미터와 킬로그램이 도입되었다. 1875년에는 미터, 킬로그램, (second)에 입각한 단위, MKS 체계가 성립되었다. 당시 영국의 스토니(1826-1911)는 표준 질량을 나타내는 킬로그램(kg), 길이를 나타내는 미터(m)와 같이 단순히 인류의 편의를 위해 만들어진 기준이 아닌, 자연에서 관측 가능한 단위계에 대해 생각하기 시작했다. 이러한 생각의 배경에는 기존의 단위가 이론적으로 인간중심적이라는데 있으며, 스토니는 지구를 넘어 우리가 현재 존재하고 있는 우주에 의존하지 아니하는 단위계를 만들고자 하였다. 1883, 그는 물리 상수를 기반으로 하는 단위계를 제안했다. 이 단위계는 우주 어디에서나 동일하다고 가정하고 있으며, 스토니가 도입한 상수는 빛의 속도(c), 우주 중력 상수(G), 기본 전자의 전하(e)이다. 주목할만한 사실은 아인슈타인이 비슷한 제안을 하기이전에, 스토니가 이미 빛의 속도를 상수로서 고려했다는 점이다. 스토니는 이러한 상수를 조합하여 질량의 단위, 길이의 단위, 시간의 단위를 유도 할 수도 있다는 점을 보여주었다.

 

1899, 플랑크(1858-1947)는 오늘날 플랑크 상수(Planck constant)라 불리는 단위계를 제안했다. 플랑크 상수는 특별한 물체나 물질로부터 독립적인 단위계이며, 빛의 속도(c), 중력 상수(G), 작용 상수(h)와 같은 자연의 가장 근본적인 상수를 근간으로 만든 자연 단위(질량, 길이, 시간)를 도입하여 형성 됐다.

 

플랑크 상수 h는 작용(action)에 필요한 최저 에너지를 나타내는데, 이는 양자(quantum)’로 더 잘 알려진바 있다. 주의 깊게 봐야 할 점은 플랑크 상수를로 나눈 값을 환산 플랑크 상수(reduced Planck constant)라고 부른다는 사실이다. 이 환산 플랑크 상수는 흔히 디랙 상수(Dirac’s constant)라고도 불린다. 또한, 볼츠만 상수 k를 적용하여 자연적 온도(natural temperature)도 정의 가능하다. 이 네 가지 상수를 적절히 조합하면, 질량, 길이, 시간 온도의 차원을 지닌 플랑크 측정 단위를 유도할 수 있다. 우리는 각각을 플랑크 질량, 플랑크 길이, 플랑크 시간, 플랑크 온도라고 부른다. 현재, 플랑크 측정 단위는 쿨롱 힘 상수(Coulomb force constant)를 포함한 다섯 가지의 기초 상수와 관련하여 독자적으로 정의되는데, 위의 모든 상수는 통일성을 지닌 숫자 값을 갖는다.(1)(Barrow, 2004).

 

이러한 단위는 자연 단위라 알려져 있다. 그 이유는 해당 용어의 기원이 인간이 만든 것이 아니기 때문이다. 이런 이유로 자연 단위에서는 인간 중심적인 독단을 없앴다고 할 수 있다. 결과적으로, 자연의 불변 스케일링은 자연 단위를 활용함으로 인하여 가능해진다.

 

플랑크 단위에서는 다섯 가지 주요 상수의 숫자 값에 통일성을 부과하여, 전환 요소(conversion factor)를 제거함으로써 물리학의 많은 대수식을 단순화 한다. 자연 단위를 통한 단순화 과정은 양자 중력 연구와 고 에너지 물리학 연구에서 흔히 찾아볼 수 있다. 플랑크 단위를 사용했을 때의 또 다른 장점은 만약 물리량이 위의 조건에 따라 표현 가능하다면, 물리량은 무차원 값을 가지게 된다는 것이다. , 자연 단위의 선택을 통해서 차원을 가진 보편적인 양이 일반화 되는 것이다. 여기서 명심해야 할 점은, 모든 다섯 가지 주요 상수가 자연에서 관찰 가능한 역동적인 현상과 연관성을 지니고 있다는 사실이다.

 

플랑크 단위를 포함한 자연 단위는 다양한 분야에서 유용성을 지니고, 주요 상수를 통해 유도됐다는 점에서 더욱 자연스럽다는 측면이 있다. 그럼에도 불구하고, 자연 단위는 모든 SI 단위를 대체할 수 없으며, 자연 단위의 허용 불가능한 수준의 큰 불확도 때문에 몇몇 분야에서는 적용이 불가하다.

 

2006 CODATA에서 권장한 기본 물리 상수 값에 따르면(본 논문에서는 CODATA 2006(Mohr & Taylor, 2008)으로 주요 물리상수의 2006 CODATA 권장 값을 참조), 플랑크 질량, 플랑크 온도, 플랑크 길이, 플랑크 시간의 상대적 표준 불확도는 약 5.0x10-5 정도로 나타난다. 이 수치는 CODATA 2006의 값(Mohr & Taylor, 2008)에서 나타나는 동종 기초 물리량의 상대적 표준 불확도와 비교했을 때 굉장히 높은 수준이다.

 

플랑크 상수의 높은 불확도는 주로 뉴턴의 만유인력 상수의 높은 불확도(G = 1.0 x 10-4) 탓에 나타난다. 그 결과, 플랑크 단위 체계는 자연 단위를 채택했을 때 얻을 수 있는 이익이 극명한 특정 과학 분야를 제외하고는, 높은 불확도 탓에 실질적으로 모든 과학 분야에 적용하기는 힘들다.

 

현재 자연 단위 체계에서는 다섯 가지 물리 상수를 선택하고 있으며, 통일성을 추구하고 있다. 그 결과, 일곱 가지 기본 SI 단위 중 다섯 가지를 무차원 수로 변환하는 것을 허용하고 있다. 그러나 이러한 접근은 불확도가 상대적으로 높고, (mol)과 칸델라(cd)라는 두 가지 기본 단위가 포함되지 않았다는 점에서 내재적인 제약을 가지고 있다. 결과적으로, 기존 자연 단위계는 SI 단위와 호환성을 유지하는 동시에 모든 물리량을 실험적으로 정의한 불확도 범위 내의 무차원 수로 전환하는 방법을 제공하지 못했다.

 

본 논문에서는 새로운 수학적인 도구를 제시한다. 새로운 수학적인 도구 제시를 위해서 모든 일곱 가지 SI 기본 단위와 모든 물리량을 상응하는 무차원 숫자 값으로 변환하였는데, 상응하는 무차원 숫자 값은 추산한 상대적 표준 불확도를 지닌다. 변환의 목적은 상대적 표준 불확도를 허용 가능한 범주로 하여 최초로 모든 과학 분야에 적용하기 위함이다.

 

우리가 제시한 단위계는 일곱 가지 물리량을 채택하고 숫자 1을 선택하였는데, 이는 모든 일곱 가지 SI 기본 단위를 어떠한 모순도 없이 무차원 수로 변형하고자 함이다.

 

일곱 가지 기본 SI 단위 중, 시간의 단위인 s를 독립적으로 정의하여 무차원 수인 1로 한다. 선택한 물리 상수에 따라서, 선택하지 아니한 다른 SI 기본 단위 역시 계산 가능하다. 이는 시간의 단위인 s에 대응하는 무차원 수를 만들기 위함이다.

 

이 과정 속에서, 빛의 속도와 같은 정확한 값을 가진 물리 상수와 뤼드베리 상수, 미세 구조 상수와 같은 상대적으로 낮은 불확도를 가진 물리 상수는 특정 단위의 유도과정에서 활용 가능한데, 이는 전환한 무차원 수의 상대적 불확도를 최소화 하기 위함이다.

 

모든 SI 단위와 이로 인한 모든 물리량은 각자의 대응하는 숫자 값에 따라서 표현이 되기 때문에 우리가 제시한 단위계에서는 차원이 존재하지 아니한다. 차원이 존재하지 않는다는 점은 서로 다른 차원의 물리량을 가감하거나 비교 가능하다는 것을 암시한다. 이는 아마도 서로 다른 차원의 물리량 사이에서의 새로운 관계를 유도하는 매력적이고 유용한 수단으로, 기존의 SI 단위를 활용해서는 매우 어렵거나 불가능한 일이었다. 또한, 단위의 무차원 숫자 값을 적용하여 몇몇 새로운 물리 법칙을 쉽게 확인할 가능성도 존재한다.

 

 

2. 제로존 단위계(ZERO ZONE SYSTEM OF UNITS)

2.1 비차원화(Nondimensionalization)

 

비차원화를 주로 활용할 수 있는 분야는 차원 단위에 속한 문제를 단순화하고 파라미터화하는 적절한 변수의 대체 작업을 통해 수학 방정식에서 부분적으로, 혹은 완전히 단위를 제거하는 것이다. 자연 단위계는 비차원화의 전형적인 예이다. 자연 단위는 물리적인 측정 단위로 몇몇 선택 받은 물리 상수를 일반화하여 통일성의 숫자 값을 갖도록 하는 방식으로 정의된다. 자연 단위는 물리 법칙의 특정 대수식을 단순화 하기 위함이거나 혹은 몇몇 선택된 물리 상수를 일반화 하고자 위함이다. (여기서 선택된 물리 상수란 자유 공간특성, 혹은 보편 소립자의 특성으로, 합리적인 관점에서 상수라 생각 가능할 수도 있는 요소임.) 플랑크 상수와 스토니 단위를 포함한 자연 단위계에서 대부분의 경우, 다섯 가지 물리량인 길이, 질량, 시간, 온도, 전하를 기본 단위량으로 채택하고 정의한다. 일반화 과정을 따르는 물리 상수는 다양한 물리 상수 후보군에서 선택된다. 물리 상수의 후보군의 예로는 진공에서의 빛의 속도 (c), 중력 상수(G), 디랙 상수 혹은 환산 플랑크 상수(h/2π), 쿨롱 힘 상수(1/4πε0), 기본 전하(e), 전자 질량(me), 양성자 질량(mp), 볼츠만 상수(k) 등이 있다.

 

본 논문에서는 모든 물리량에서 나타나는 모든 단위를 상응하는 무차원 값으로 대체하여, 간단하면서도 일반화된 무차원화 방식을 제공한다. 이러한 접근은 일부 특정한 경우 보다는 모든 물리 방정식의 무차원화에 더욱 잘 적용된다.

 

우리는 차원화한 물리량 x가 방정식(1)에서 나타난 바와 같이 무차원 숫자 값인 x* 및 단위인 xu로 구성되어 있다고 정의한다.

x = x*xu   (1)

만약 시간의 구간을 초(s)로 측정하면, t = 10s 이고, x t이며, xu s일 때, x* 10의 무차원량과 동일하다. 단위인 xu가 상응하는 특별한 숫자 값에 의해 주어진 경우, 물리량 x는 단위를 특별한 숫자 값으로 대체하는 방법을 통해 쉽게 무차원 숫자 값으로 변환될 수 있다.

 

본 논문에서 제시한 무차원화 방법을 실현하기 위해서는, 일곱 가지 모든 SI 기본 단위의 무차원화 값에 설정을 가해야 한다. 여기서 설정이란, 특정한 보편적 물리 상수와 일초라는 시간 구간을 적절하게 선택하여 통일성을 이루기 위한 일반화를 하는 것이다. 모든 여타 유도단위의 무차원 값은 위의 SI 기본 단위로부터 유도 가능하다. 결과적으로, 모든 차원의 물리량은 각 단위를 단순히 숫자 값으로 대체하여 숫자 값으로 변환 가능하다.

 

우리는 Q 단위라는 새로운 단어를 만들어 무차원화를 거친 물리량의 무차원 값을 표현한다. ‘Q 단위 값이란 단어는 물리량의 변환된 무차원 숫자 값을 의미하는 것으로, 이는 특정한 물리량을 통일성을 가지도록 설정한 일반화를 통해 가능하다. Q 단위는 단위를 숫자로 넣은 물리량을 의미한다.

 

우리는 Q[x]를 물리량 x의 연산자라고 정의하는데, 이는 물리량 내의 모든 단위를 각각의 무차원 숫자 값으로 대체하여 물리량을 Q 단위 값으로 변환한다. 예를 들면, 방정식(1)에 주어진 물리량 x Q 단위 값은 방정식(2)에서 보이는 바와 같이 쉽게 얻을 수 있다.

Q[x] = Q[x*xu] = x*Q[xu]

(2)

 

여기서 x* x의 수계수(numerical coefficient)이고, Q[xu]xu의 무차원 숫자 값이다.

 

2.2 무차원화를 위한 후보 물리 상수

 

모든 일곱 가지 SI 기본 단위를 무차원 값으로 변환하기 위해서 필요한 일은 어떤 물리 상수를 선정하여 통일성의 무차원 숫자 값으로 정의해야 하는지 찾는 것이다. 또한, 이러한 무차원 값의 불확도는 이미 잘 알려진 물리 상수와 비교 했을 때, 호환 가능한 범주 안에 속하여야 한다.

 

눈여겨봐야 할 점은 일곱 가지 SI 기본 단위를 개별 선택 하여, 원하는 숫자 값으로 정의 할 수 있다는 것이다. 일곱 가지 단위 중 SI 기본 단위를 개별 정의하면, 나머지 여섯 개의 단위와 독립적으로 정의되며, 나머지 여섯 개의 단위는 모순 없는 일반화를 위하여 선택되는 다른 물리량에 따라서 각자 자신들의 Q 단위 값으로 변환된다. 여기서 시간의 SI 기본 단위인 초(s)는 다른 모든 단위의 참고 값으로 선택되어 무차원 숫자 값으로의 변환 과정을 거친다.

 

  • 만약 1초라는 시간 구간의 물리량을 t1 = 1s로 간주한 후, 통일성을 바탕으로 일반화 과정을 거치면, 우리는 Q[t1] = Q[s] =1의 관계에서 s Q 단위 값을 구할 수 있다. , 여기서 이해할 수 있는 사실은 1s, 20s, 300s라는 시간의 구간은 각각 상응하는 무차원 값인 1, 20, 300으로 변환 가능하다는 점이다.

 

  • 미세 구조 상수인 α, α = e2 / 4πε 0hc = 1/137.035 999 679(94)는 어떠한 단위계가 적용되건 간에 순수한 무차원 숫자 값이다. α가 순수한 무차원 값인 덕분에 숫자 값 통일성을 바탕으로 하는 일반화를 위하여, α를 포함한 네 개의 상수(, c, h/2π, e, 4πε0) 중 어떠한 세 가지 상수도 조합 가능하다. 하지만, 과도 결정(over determination) 탓에 모든 네 가지 상수를 한 번에 조합할 수는 없다.

 

  • 상기 네 가지 상수 중에서, 우리는 진공에서의 빛의 속도인 c를 선택하여 Q[c] = 1을 통해 c를 일반화 하였다. 이를 토대로, SI 기본 단위 값 중 길이에 해당하는 Q 단위 값인 Q[m]을 얻을 수 있다. 우리는 또한 Q[h] = 1을 통한 일반화 과정을 위하여 플랑크 상수인 h를 선택한바 있다. 이는 질량의 기본 SI 단위가 지니는 Q 단위 값인 Q[kg]을 얻기 위함이다.

 

  • 전류의 기본 SI 단위, 즉 암페어(A) Q 단위 값인 Q[A]로 변환하기 위하여 기본 전하 대 전하 질량의 비율인 e/me를 선택해 통일성의 숫자 값으로 정의하는데, 이는 Q[e/me] = 1이다. 여기서 얻을 수 있는 것은, 암페어의 무차원 값인 Q[A], 킬로그램의 무차원 값인 Q[kg], 그리고 이 사이에서 나타나는 특별한 관계이다. 열역학적 온도 단위를 정의하기 위한 수단으로 볼 수도 있는 볼츠만 상수(k) 또한 Q[k] = 1을 토대로 하는 일반화 과정을 위해서 선택된다. 이로부터, Q 단위 값인 켈빈 Q[K]를 유도할 수 있다.

 

  • 입자의 수를 나타내는 SI 기본 단위인 몰(mol)을 상응하는 Q 단위 값으로 변환하기 위해서는 아보가드로 상수(NA)를 선택하여 Q[NA]=1을 통해 일반화 과정을 거친다.

 

  • SI 기본 단위에서 광도를 나타내는 칸델라(cd) 역시 Q 단위 값으로 변환 가능한데, 이는 일반화 과정을 위한 적절한 물리 상수를 선택하여 이루어진다. 칸델라의 정의는 광원이 어떤 방식으로 1 칸델라를 방출하는 지에 대해 설명하는 것이며, 1 칸델라는 진동수 540 ×1012 헤르츠인 단색광을 방출하는 광원의 복사도가 어떤 주어진 방향으로 매 스테라디안 당 1683 와트일 때 이 방향에 대한 광도이다. 그렇다면 우리는 진동수 540×1012 헤르츠의 단색광 복사를 위한 분광 감시 효능 B를 정확히 와트당 683 루멘으로 보아야 한다. , B = 683 lm/W = 683 cd sr/W가 되는 것이다. Q[b] = 1을 통한 일반화 과정을 위해 물리상수인 b=B/sr = 638 cd/W를 선택하면, 칸델라의 변환된 Q 단위 값인 Q[cd]를 획득할 수 있다.

 

요약하자면, 본 논문에서 제안하는 단위계를 이루는 방법은 여섯 가지 물리 상수를 선택하고, 이와 더불어 방정식(3)에 표시된 바와 같이, 통일성의 무차원 값을 토대로 하는 일반화 과정을 위한 하나의 SI 기본 단위를 추가적으로 선택하는 것이다.

Q[s] = Q[c] = Q[h] = Q[e/me] = Q[k] = Q[NA] = Q[b] =1

(3)

 

2.3 일곱 가지 SI 기본 단위를 위한 Q 단위 값의 유도

 

앞서 설명한 바와 같이, 방정식(3)에서 주어진 일곱 가지 공준은 일곱 가지 SI 기본 단위를 무차원 Q 단위 값으로 변형하는데 적용된다. 우선, SI 기본 단위 중 시간의 Q 단위 값인 Q[s]는 방정식(3)에서 정의된 바와 같이 아주 단순하게도 1이다. 이는 정확한 값으로 0의 불확도를 지닌다.

Q[s] = 1

(4)

 

SI 기본 단위 중 길이의 Q 단위 값인 Q[m]은 방정식(3)에 나타난 것처럼 Q[s] = Q[c] = 1로 하여 정의된 빛의 속도(방정식(5))로부터 쉽게 구할 수 있다.

 

Q[c] = 299 792 458 Q[m]/Q[s] = 1

(5)

 

방정식(6)에서 나타나는 바와 같이, 결과 또한 정확한 값을 갖는다.

 

Q[m] = 1/299 792 458

(6)

 

SI 기본 단위 중 질량에 해당하는 Q 단위 값인 Q[kg]은 플랑크 상수의 일반화를 통해서 획득 가능하다. 플랑크 상수는 방정식(7)에서 주어진 Q[h] =1 통해, h = 6.626 068 96(33) x 10-34 Js로 나타난다. Q[s] = 1을 방정식(6)에서 구한 것처럼 Q[m]으로 대체하면 킬로그램에 해당하는 Q 단위 값인 Q[kg]이 방정식(8)에서 나타나는 바와 같이 계산 가능하며, 이의 상대 표준 불확도는 플랑크 상수의 상대 표준 불확도인 5.0x10-8와 동일하게 나타난다.

 

Q[h] = 6.626 068 96(33) x 10-34 Q[J]Q[s]

        ​= 6. 626 068 96(33) x 10-34 Q[m]2 Q[kg]Q[s]-1 = 1

 (7)

 

Q[kg] = 1.356 392 733(68) x 1050

 

(8)

 

SI 기본 단위 중 전류의 무차원 값인 Q[A]를 얻기 위해서는 몇몇 절차가 필요하다. 우선, 전자 질량의 무차원 값인 Q[me]는 상대적 불확도가 6.6 x 10-12인 뤼드베리 상수, R = α2mec/2h = 10 973 731.568 527(73) m-1로부터 구할 수 있다. 상기의 Q 단위 내 변형 형태는 방정식(9)에서 나타난다.

 

Q[R] = α2Q[me]Q[c]/2Q[h] = 10 973 731.568 527(73) Q[m]-1

(9)

 

방정식(3)Q[c] = Q[h] = 1을 적용하여, 방정식(6)에 나타나는 Q[m]의 무차원 값, 미세 구조 상수 α = 7.297 352 5376(50)x10-3 및 전자 질량의 Q 단위 값인 Q[me]가 방정식(9)로 계산 가능하다. Q[e/me] = Q[e]/Q[me] = 1의 공준에 따라서 기본 전하의 무차원 값인 Q[e]는 전자 질량의 무차원 값인 Q[me]와 동일한 값을 갖고, 방정식(10)과 같이 나타난다.

Q[e] = Q[me] = 1.235 589 9746(17) x 1020

(10)

 

무차원 값 me의 상대적 표준 불확도는 Q[c] = Q[h] = 1, 즉 방정식(9)의 정확한 값을 대체하여 계산 가능하고, 뤼드베리 상수의 상대적 불확도, 6.6 x 10- 12와 미세 구조 상수의 상대적 불확도인 6.8 x 10-10에만 의존한다. 고로, me의 상대적 표준 불확도는 1.4 x 10-9, 2006 CODATA에서 발표한 e의 상대적 불확도 2.5 x 10-8me의 상대적 불확도 5.0 x 10-8보다 더 나은 결과를 보여준다. (Mohr & Taylor, 2008)

 

기본전하 ee = 1.602 176 487(40) x 10-19 C로 주어지는데, 여기서 쿨롱에 해당하는 무차원 값인 Q[C]를 구할 수 있다. Q[C]를 구하는 방법은 Q[e] Q 단위 내의 변환된 방정식인 Q[e] = 1.602 176 487(40) x 10-19 Q[C]로 직접 대체하여 가능하다. 명심해야 할 점은 정의상 A = C/s이고 이의 Q 단위 내에서의 변환 형태는 Q[s] = 1과 더불어 Q[A] = Q[C]/Q[s]라고 주어지기 때문에, SI 기본 단위 중 전류에 해당하는 무차원 값인 Q[A]는 무차원 값 Q[C]와 동일하며, 방정식(11)과 같이 표기할 수 있다.

Q[A] = Q[C] = 7.711 946 75(23) x 1038

  (11)

 

Q[C]의 상대적 불확도는 무차원 값 Q[e]의 상대 표준 불확도 계산 결과인 1.4 x 10-9 e의 상수 계수의 주어진 상대 표준 불확도인 2.5 x 10-8를 활용하여 계산할 수 있다. 결과적으로, Q[C]의 상대 표준 불확도를 2.9x10-8로 계산 가능하다.

 

방정식(12)에서 표현된 바와 같이 Q 단위 내의 변환된 형태 하에서 볼츠만 상수인 k와 에너지의 SI 단위인 줄(J)을 통해 열역학적 온도인 K SI 기본 단위를 나타낼 수 있다.

 Q[k]Q[K] = 1.380 6504x10-23 Q[J] = 1.380 6504x10-23 Q[m]2 Q[kg]Q[s]-2


  (12)

 

Q[k] = Q[s] = 1과 방정식(12)에서 나타나는 Q(m) Q(kg) Q 단위 값을 적용하여, K Q 단위 값을 방정식(13)과 같이 획득할 수 있다. 상대적 불확도는 1.7 x 10-6로 계산 된다.

Q[K] = 2.083 6644(36) x 1010

(13)

 

SI 기본 단위 중에서 입자의 수를 나타내는 (mol) 다음과 같이 정의가 가능하다. 몰은 입자의 수로, 탄소 12 0.012 킬로그램 원자에 기초 단위체(elementary entities) 얼마나 많이 들어가는 지를 나타내는 것이다. 몰의 이러한 정의는 아보가드로 상수인 NA 또한 정하며, 아보가드로 상수는 단위체의 값을 어떠한 표본에서도 입자의 양과 연관시킨다. 주의 해야 부분은 SI 단위 내에서 NA, 몰은 6.022 141 79(30) x 1023이며, Q 단위 내에서의 변환 형태는 Q[ NA] =1이므로, Q[NA]Q[mol] = 6.022 141 79(30) x 1023 같다. Q[mol] 방정식(14)에서 보듯 쉽게 획득 가능하며, 상대 불확도는 5.8x10-8으로, 2006 CODATA에서 발행한 바와 동일하다. (Mohr & Taylor, 2008)

Q[mol] = 6.022 141 79(30) x 1023

(14)

 

광도의 SI 기본 단위인 칸델라(cd) 정의에서 봤을 , 진동수 540×1012 헤르츠의 단색광 복사를 위한 분광 감시 효능은 B = 683 (cd)(sr)/W 통해 주어질 있는데, 여기서 sr 스테레디안이고 W 와트를 지칭한다. 만약 우리가 단위 반경의 영역을 실질적으로 취하게 되면, 사실상 1 스트레디안의 부분은 단위 반경의 영역 4분의 1만큼을 덮게 되며, sr π 같다.

 

SI 단위에서 B b = B/sr 대체하고 W kgm2s-3 대체 하여, 상기의 방정식은 방정식(15) 나타난 것처럼 변환된 Q 단위 형태로 표현될 있다. 명심 해야 부분은, 위의 단위가 심지어 일곱 가지 SI 기본 단위 하나일 지라도 kg, m, s 가지 SI 기본 단위에 의존한다는 점이다.

Q[b] = 683 Q[cd] Q[m]-2 Q[kg]-1 Q[s] 3

(15)

 

방정식(15) Q[b] = Q[s] = 1 방정식(6) 방정식(8)에서 각기 주어진 Q[m] Q[kg] Q 단위 값을 대체하여, 방정식(16)에서 나타나는 바와 같이 무차원 값인 Q[cd] 구할 있다. 여기서 상대적 불확도는 5.0x10-8 계산된다.

Q[cd] = 2.209 649 27(11) x 1030

(16)

 

1 일곱 가지 기본 SI 단위를 무차원 숫자 값으로 변환한 결과를 보여준다. SI 기본 단위 숫자 값의 집합에 근거하여 다른 유도 단위와 물리량에 상응하는 숫자 값을 유도할 있다.

 

1. 일곱 가지 SI 기본 단위의 제로존 무차원 요약


 

* 기본 물리상수의 2006 CODATA 조정 결과(Mohr & Taylor (2008)) 나타난 불확도에 기반함

 

2 무차원 Q 단위 ‘1’ 갖는 물리량 SI 단위 내에서 이에 상응하는 물리량을 나타낸다. Q 단위 숫자 값은 상기 단위의 어떠한 정보도 드러내지 않기 때문에, Q 단위 숫자 값을 상응하는 SI 물리량으로 변환하여야 한다. Q 단위 숫자 변환은 2 나타난 변환 () 활용하여 가능한데 이들의 물리적 함의를 확인하기 위함이다. 우리는 1 숫자를 적용하여 새로운 숫자 단위계를 성립할 있다. 새로운 숫자 단위계는 기존에 설립된 SI 단위계와 자연 단위계를 통합하는 것으로 제로존 단위계라고 불린다.

 

2. 제로존 무차원 ‘1’ SI 단위 내의 상응하는 물리량  


 

2.4 SI 단위와의 호환성

 

제로존 단위계의 가장 특별한 점은 모든 물리량과 SI 단위를 무차원 숫자 값으로 변환 있다는 것이다. 국제 단위계(International System of Units) 호환이 되기 때문에 어떠한 물리 방정식 내에서든 무차원 값을 상응하는 물리량이나 상응하는 단위와 치환할 지라도, 허용 가능한 불확도 내에서 SI 단위와 일관성을 갖는 모든 자연의 법칙에 대해 모순이 발생하지 않는다. 논문에서 제시한 제로존 단위계는 무결성을 보장하고자 조사 확인을 거쳐 기존의 SI 단위와 일관성을 갖도록 하였다. 조사 확인을 위한 방법은 논문에서 유도한 무차원 값의 표준 불확도와 2006 CODATA 권장 기초 물리상수에서의 표준 불확도를 (Mohr & Taylor, 2008) 비교하는 것으로, 몇몇 주요 상수 여덟 가지 에너지 상응 단위 사이에서의 전환 요소를 위함이다.

 

CODATA 2006 의하면, SI 단위 내에서 기본 전하 전자 질량 지수의 비율 e/me 다음과 같다.

e me-1 = 1.785 820 150(44) x 1011 C kg-1

(16)

 

방정식(16)에서 구할 있는 것은 다음과 같다.

e me-1 C-1 kg = 1.785 820 150(44) x 1011

(17)

 

Q[e me-1 kg C-1] = Q[e]Q[me]-1Q[kg]Q[C] -1사이에서의 관계를 활용하여, 방정식(17) 좌변은 1 Q[kg], 방정식(10) Q[e] = Q[me], 방정식(11) Q[C] 적용하여 무차원 값으로 변환 가능하다. 여기서 우리가 얻을 있는 식은 다음과 같다.

Q[e me-1 C-1 kg] = 1.785 820 149 x 1011

(18)

 

방정식(18) 산술 결과와 방정식(17)에서 드러나는 CODATA 2006에서 주어진 값들을 비교했을 드러나는 차이는 허용 가능한 수준이며, 허용 가능한 불확도 내에 포함된다. 비슷한 절차가 클리칭(von Klitzing) 상수, 조지프슨(Josephson) 상수, 패러데이(Faraday) 상수와 같은 다른 물리 상수에 적용 가능하며, 결과는 3에서 확인할 있다.

 

3. CODATA 2006 권장 값과 제로존 단위계의 변환 무차원 값을 활용한 계산 결과의 비교


 

논문에서 제시한 단위계의 통일성을 보여주는 다른 예시를 보여주기 위해서 CODATA 2006에서 권장한 여덟 가지 에너지 단위, J, kg, m-1, Hz, K, eV, 원자 질량 단위(u), 하트리 에너지(Eh) 사이에서 나타나는 64가지의 변환 요소와 논문에서 제시하는 무차원 숫자 값을 활용해 계산한 결과를 비교 하였다. 명심할 점은 상기 상응하는 여덟 가지 에너지 단위의 유도단위가 1 일곱 가지 SI 기본 단위를 이용하여 계산 가능하다는 점이다.

 

4 64가지의 변환 요소를 나타낸다. 64가지의 변환 요소는 논문에서 제시한 여덟 가지 에너지 단위의 Q 단위 값을 직접적으로 활용해 산술한 결과물이다. 표의 내의 변환 요소가 지닌 의미는 표의 행에 나타난 단위의 Q 단위 값을, 열에 나타난 단위의 Q 단위 값으로 나눈 것이다. 예를 들면, kg , 그리고 J 열에 있는 값은 변환 요소인 Q[kg]/Q[J] = 8.987 551 787… x 1016 나타낸다.

 

괄호 안에 있는 숫자는 값에 상응하는 최종 숫자를 지칭하는 표준 불확도의 숫자 값이다. Q[m-1]/Q[Hz]같은 불확도가 나타나지 않는 변환 요소는 정확한 값을 의미한다.

 

  4. Q 단위 여덟 단위를 직접적으로 활용하여 산술한 변환 요소



 

예시로, Q[kg]/Q[J] 변환 요소는 단순화 과정을 거친 방정식(19) 통해 획득 있다.

Q[kg]/Q[J] = Q[kg]/Q[kgm2s-2] = Q[m]-2 Q[s]2

(19)

 

경우, Q[kg]에서 분자와 분모는 서로가 서로를 상쇄한다. Q[s] 통일성의 정확한 값으로, 방정식(4)에서 나타나고 있고, Q[m] 역시도 방정식(6) 같이 정확한 값을 지닌다. 결과적으로, 변환 요소는 정확한 값을 갖는 것으로 보인다. 그러나 Q[kg]/Q[m-1 ]이라는 변환 요소의 다른 예시는 4에서 나타난 바와 같이 표준 불확도 0.000 000 16 x 1041 갖는다. 이러한 경우 Q[m-1]이나 Q[m]-1 정확한 값을 지닌다 할지라도, Q[kg] 10-8 위수() 범위 내의 상대적 표준 불확도를 갖는데, 이는 플랑크 상수의 상대적 표준 불확도와 동일한 것으로 변환 요소의 산술된 불확도를 낳는다.

 

CODATA 2006에서 나타난 여덟 가지 에너지의 상응하는 단위 중 64가지 변환 요소는 E=mc2=hc/λ=hv=kT와 같이 잘 알려진 방정식으로부터 계산되며, 계산은 CODATA 2006 상수 값의 조정에 기반한다.

 

이러한 변환 요소의 획득은 유한 물질의 속성에 기반한 기본 단위들 간의 정성적인 혹은 정량적인 개념 분석보다는 단위들과 물리 상수들 간의 중복적인 관계로부터 이루어진다. 예를 들면, 위와 같은 단순한 반복의 중심에는 잘 알려진 질량-에너지 등가가 있다. 그러나 반면에 표 4에서 주어진 변환 요소의 값은 두 연관 단위의 Q 단위 값으로부터 직접적으로 계산된다.

 

본 논문에서 제시한 제로존 단위계를 통해, 64가지 변환 요소의 일관성과 통일성을 얻을 수 있는데, 이는 CODATA 2006과 비교했을 때 허용 가능한 불확도 범위 내에 들어간다.

 

2.5 서로 다른 차원에 속한 물리량 사이에서의 변환 가능성

 

기초적인 형태의 차원 분석은 물리 방정식의 차원적 동질성을 확인하는데 사용 될 수도 있는데, 모든 방정식의 양변이 반드시 동일한 차원이나 동일한 단위를 지니는 방식을 따른다. 물리적으로 의미가 있는 식에서는 동일한 차원의 양이나 같은 차원의 양만이 가감 가능하고, 서로 비교 가능하다. 예를 들면, 고양이의 질량과 개의 길이는 의미 있는 합산이 불가능하다. 또한 3kg>2m라는 식은 의미가 없다.

 

제로존 단위계에서는 선택한 물리량이 방정식(3)과 같이 동일성을 지니도록 설정이 되어있다. 고로, 본 단위계에서는 모든 일곱 가지 기본 SI 단위가 표 1과 같이 무차원 숫자 값으로 변환된다. 1은 모든 물리량과 유도 단위를 상응하는 Q 단위 값으로 변환하는데 사용 가능하다. 주의 깊게 봐야 할 점은 c = 1 과 같은 물리 방정식이, 써진 문자 그대로 받아 들여져서는 안 된다는 사실이다. 왜냐하면 빛의 속도인 cms-1이라는 차원을 가지지만, Q[c]는 무차원에 속하며, 혹은 통일성과 문자 그대로 동일하다고 할 수도 있기 때문이다.

 

본 논문에서 제시한 단위계 내에서는 차원이 아예 존재하지 않기에, 상응하는 변환 요소를 통해 어떠한 SI 기본 단위라도 변환 가능할 수 있다. 사실, 1에서 나타난 SI 기본 단위의 Q 단위 값은 변환 요소를 그 자체간에서 사용할 수 있다. 예를 들면, 우리는 다음을 포함한 변환 요소들을 쉽게 획득할 수 있다.

Q[m]/Q[s] = 1/299792458, Q[kg]/Q[s] = 1.356392733 x1050, Q[kg]/Q[m] = 4.066363114 x 1058

 

SI 단위 내 서로 다른 차원의 물리량은 물리 방정식 내에서 명백히 서로 대체 불가하다. 예를 들면, SI 단위 내에서 J라는 단위는 물리 방정식 내에서 kg과 직접적으로 대체할 수 없다. 왜냐하면, 변환 요소인 J/kg이 측정 불가능할 뿐만 아니라, 심지어 에너지인 E(8.987 551 787… x 1016 J)가 질량인 m = 1 kg과 아인슈타인의 질량-에너지 등가인 E = mc2하에서 상응한다 할지라도, J/kg8.987 551 787… x 1016과 완전히 동일하다고 할 수 없기 때문이다.

 

그러나 만약 제로존 단위계를 위의 경우에 적용한다면, E = mc2은 무차원화한 형식인 Q[E] = Q[m]Q[c]2으로 변환 가능하다.

 

Q[c] = 1이기 때문에, Q[E] 8.987 551 787… x 1016이다. 주어진 질량, m = 1 kg을 고려하면, Q[J]Q[m] = Q[kg]과 상응하기 보다는 동일하며, 이는 다음과 같이 나타난다.

8.987 551 787… x 1016 Q[J] = Q[kg]

 

변환 요소를 J Q 단위 값과 kg Q 단위 값 사이에서 획득하여 Q[kg]/Q[J]8.987 551 787… x 1016 혹은 Q[J]/Q[kg] 1.112 650 056…x 10-17을 얻을 수 있기 때문에, Q[J]는 상기의 변환 요소를 통해 Q[kg]로 대체 가능하고, 본 논문에서 제시한 단위계 하의 모든 물리 방정식 내에서 그 반대의 작업도 가능하다.

 

명심해야 할 점은 제로존 단위계의 물리 방정식 내에서 나타나는 모든 단위는 상응하는 변환 요소를 통해 다른 단위로 직접 대체 가능하며, 단위들 간에 수학적인 모순이 전혀 발생하지 아니한다. 단위들 간에 변환성이 예외 없이 존재한다는 점에서, 서로 다른 차원의 물리량이 가감 가능하고 서로 비교 가능한 방식으로 과학 패러다임의 변화가 일어날 것이다. 제로존 단위계는 새로운 물리 방정식을 찾는데 있어 매력적이고 도움을 주는 수단으로 작용할 것이다. 이는 기존 SI 단위를 활용해서는 찾아내기 매우 힘들거나 불가능에 가까운 일이었다.

 

3. 결론

 

소위 제로존 단위 s, c, h, k, e/me, NA, b의 통일성으로의 일반화 과정을 통하여, 일곱 가지 모든 SI 기본 단위가 Q 단위 값, 즉 통합 차원 숫자 값으로 성공적인 변환을 이룰 수 있다는 점을 제시했다. 다른 기타 모든 단위가 일곱 가지 SI 기본 단위로부터 유도 되기에, 모든 물리량은 명백하게 원 파라미터(one parameter)를 통해 표현 가능한데, 원 파라미터란 차원이 존재하지 않는 순수한 숫자의 통일성을 가리킨다.

 

모든 단위의 Q 단위 값 사이에는 차원의 벽이 존재하지 않기 때문에, 대수식 내 특정 단위의 Q 단위 값은 적절한 변환 요소를 통해 어떠한 수학적 모순도 없이 다른 단위의 Q 단위 값으로 대체 가능하다. 심지어 다른 차원의 단위를 변환 Q 단위 값을 활용하여 서로 가감하고 비교할 수 있다. 단위의 Q 단위 값을 활용하면 특정 물리량 사이에서 나타나는 관계를 쉽게 분석 할 수 있고, 심지어는 복잡한 과학 방정식을 즉각적이고 정확하게 확인할 수 있다. 게다가, 방정식의 양변이 서로 다른 물리량을 갖는 혁신적인 물리 방정식 역이 예측해볼 수 있다.

 

단위계가 특정한 양을 주요 물리량으로 선택하지 않는다는 점에서, 무차원 숫자 값에 근거하여 새롭게 제시한 단위계 내에서 소위 단위의 민주주의가 실현된다. 또한, 기본 단위와 유도 단위 간의 큰 차이가 나타나지 않는다.

 

제로존 단위계는 SI 단위의 시간에 해당하는 s의 무차원 값을 통일성의 정확한 값으로서 독립적으로 정의한다. SI 단위의 길이에 해당하는 m의 경우도 빛의 속도와 연관하여 정확한 값으로 유도하고 있다. 모든 여타 기본 SI 단위의 숫자 값이 정확한 값이 아니고 선택한 물리 상수에 따라서 어느 정도의 불확도를 지니고 있음에도 불구하고, CODATA 2006에서 나타난 실험적으로 정립된 물리 상수와 비교했을 때, 허용 가능한 수준으로 드러난다. 이 사실이 암시하는 바는 본 논문에서 제시한 단위계가 가장 근본적인 필요조건을 만족한다는 점이다. , 본 논문의 단위계는 모든 과학 분야에 적용 가능하면서, 동시에 기존의 SI 단위와 호환성을 유지한다.

 

본 단위계와 SI 단위가 호환성과 일관성을 지니고 있는지 확인 가능한데, 그 방법은 CODATA가 제시한 여덟 가지 에너지 단위 사이에서 나타나는 64가지 변환 요소 및 주요 상수의 수계수와 해당 단위를 이들의 변환 Q 단위 값으로 직접적으로 대체하여 산술한 결과와 비교하는 것이다. 모든 산술 값은 CODATA에서 제시한 실험 데이터의 허용 가능한 불확도 범주 내에 들어가며, 실험 데이터의 경우 물리 분야에 통상적으로 적용키 위한 가장 기본적인 요건 중 하나를 충족한다.

 

변환 숫자 값, 단위, 혹은 상수의 불확도 제고를 위해 뤼드베리 상수나 미세 구조 상수 같은 상대적으로 낮은 불확도를 지닌 물리 상수 활용하여 변환 과정에 적용하였고, 여기에 더하여 물리 상수는 정확한 값을 지니도록 했다. 만약 이러한 두 물리 상수가 정확한 값을 갖도록 정의한다면, 현존하는 조정 물리상수의 불확도 수준은 더욱더 낮아질 수 있을 것이다. 이는, kg과 다른 SI 기본 단위의 재정의와 연관 있다는 점을 감안했을 때, 더욱 심도 있는 토론이 필요할 것으로 보인다(Mills, Mohr, Quinn, Taylor, & Williams, 2006).

 

4. 감사의 말씀

 

제로존 단위계를 연구해 오는 동안 헌신과 인내를 보여주신 서포터즈 분들께 감사의 인사를 표한다. 또한, 본 논문의 초기 완성 본에 대해 값진 제안을 해주신 익명의 리뷰어 측에도 감사 말씀을 드리고 싶다.

첨부파일 1 : Data Science Journal